Retropost (18 de septiembre de 2008): Falacias de Monty Hall / Savant

Curioso problema el que nos describe este post de Un barco más grande. Y más curiosas aún las soluciones ofrecidas, como la de Marilyn vos Savant, la  Persona Con Mayor Cociente Intelectual.

Sin pretender aspirar a esa categoría o distinción del libro Guinness, pues ya no existe, sí manifestaré sin embargo que me parecen erróneas (si bien no completamente...) tanto la solución de Savant como las que ofrecen el autor del blog, y la mayoría de sus comentaristas.

Comienza el post con un epígrafe que alude a la dificultad de la mente humana para enfocar correctamente los problemas de probabilidad. Y la discusión que sigue, con el post y sus cincuenta y tantos comentarios a estas alturas, es una buena demostración de ello. (Como lo es también este post). Yo tampoco tengo la mente muy hecha a las matemáticas (un poco más a la lógica) pero tras una breve reflexión,  ofrezco estas conclusiones provisionalmente definitivas sobre el problema.

Quien quiera participar debe parar de leer en este párrafo, leerse el post donde se describe el juego, y pensar su solución. Luego volver, si le interesa la mía—que no es la más defendida en ese post, ni en el artículo de la wikipedia sobre esta paradoja de Monty Hall. Pero para quien sea perezoso, pongo el planteamiento del problema, copiado de Un barco más grande:

A lo largo de los años Marilyn se ha atrevido con todo. Así, no es de extrañar que en algunas ocasiones sus respuestas hayan causado cierta polémica y en otras directamente hayan sido erróneas. Pero hubo una columna que destacó sobre las demás debido a la enorme repercusión que tuvo la respuesta de la señora Savant. Mas de diez mil cartas llegaron a su dirección, todas con el mismo objetivo: decirle que estaba equivocada. Y no todos los remitentes lo hacían de buenas maneras. Marilyn fue ridiculizada por varios profesores de universidad que escribieron artículos mofándose de la respuesta publicada en Parade.
Pregunta y respuesta recibieron el nombre de El Problema Monty Hall

La pregunta

La pregunta del lector estaba basada en un conocido concurso norteamericano llamado Let´s Make a Deal (Hagamos un trato) El programa, presentado siempre por el showman Monty Hall, estuvo en antena desde 1963 hasta 1991, aunque no de forma ininterrumpida. Durante la fase final los concursantes tenían ante ellos tres puertas entre las que debían escoger una. Tras una de las puertas estaba escondido el premio gordo, mientras que las otras dos estaban vacías. La cuestión enviada a Parade partía de una situación que se daba cada semana en el concurso:

Imaginemos que estamos en la fase final de Let´s Make a Deal y tenemos ante nosotros las tres puertas. Monty nos informa de que tras una de ellas se esconde un impresionante Ferrari (o un apartamento en Torrevieja o lo que sea que dieran como premio en ese concurso). Por supuesto, tras las otras dos nos espera el fracaso absoluto. Cuando hemos elegido una de las puertas, da igual cual, Monty se acerca a una de las otras dos y la abre. Dentro no hay nada. Ahora quedan dos puertas cerradas. Monty nos hace una oferta: podemos quedarnos con la puerta que hemos elegido o cambiarla por la otra. ¿Cómo tendríamos más posibilidades de ganar el Ferrari, cambiando la puerta o manteniendo la que escogimos al principio?


La respuesta

Parece una pregunta bastante estúpida. Si solo hay dos puertas, una con premio y otra no, está claro que da igual la puerta que escojamos. Siempre tendremos un cincuenta por cien de posibilidades de ganar. Pero no fue eso lo que Marilyn vos Savant respondió al lector de Parade. Según la inteligente columnista, si cambiamos la puerta que escogimos al principio por la que nos ofrece Monty Hall tendremos dos tercios de posibilidades de ganar el Ferrari; mientras que si nos quedamos con la primera puerta tan solo tendremos un tercio.

La reacción a la respuesta de Marilyn no se hizo esperar. Como he dicho, recibió miles de cartas de lectores ofendidos por su ignorancia. Mas de mil de esas cartas estaban escritas por doctores, matemáticos en su mayoría, que consideraban indignante el error de Savant y le pedían que rectificase.

Para el autor del blog Un barco más grande, en conclusión,

 Está claro que o bien el 95% de los estadounidenses, incluyendo a importantes matemáticos, estaban en un error o lo estaba Marilyn. ¿Quién cometió el traspié en esta historia?

Este fue un ejemplo perfecto para ponernos en guardia frente a la falacia de autoridad. Por más expertos que sacaran las uñas y mostrasen sus títulos para refutar a la escritora, lo cierto es que Marilyn tenía razón y todos ellos estaban equivocados. Si cambias de puerta tienes 2/3 de posibilidades de ganar el Ferrari mientras que si conservas la puerta original tus posibilidades son tan sólo de 1/3.

Lamento tener que ofrecer una solución menos democrática. Muchos matemáticos que se opusieron a este planteamiento es posible que tuviesen razón, pues el problema y su solución requieren muchas matizaciones. De hecho, tanto la postura del autor del blog como la de los comentaristas supone una nueva versión del argumento de autoridad—en este caso de la autoridad "no académica" de vos Savant, pero pocos usan el sentido crítico necesario para ver dónde radica el origen de la paradoja. Que es en cierto modo lingüístico. (En lo que sigue, pongo en redonda mi acercamiento inicial a la cuestión, y en cursiva el resultado de la relectura del problema—como demostración práctica de las interesantes confusiones y complejidades a que conduce este problema).

— Para centrar el problema: la probabilidad de un tercio que parece darse en la primera elección es falsa, pues no tiene posibilidades de materializarse, al ir vinculado el problema a una segunda elección. Sólo en experimentos de control y no en el juego en sí se comprueba que existía en esta primera ronda una posibilidad de un tercio de acertar la puerta correcta. Pero eso, insisto, no es el juego. Podríamos decir, por simplificar, que la primera vez no eliges nada, pues la única elección que haces (eliminar una puerta que pueda elegir Monty Hall para tu segunda vuelta) es indiferente, pues siempre habrá otra puerta sin premio para que la elija Monty.

(Sí le prohíbes a Monty elegir "tu" puerta. O sea, aunque Monty no te vaya a dar directamente información sobre la puerta que dejará cerrada, pues su elección es compulsiva, sí te da necesariamente información sobre la que abre, y esa información revierte sobre la que ya tenías, a saber: - que en tu primera elección tenías dos tercios de posibilidades de fallar, y que ahora tienes un 50% de posibilidades de acertar... en la puerta que Monty ha dejado cerrada, pero no un 50% en la tuya, pues sobre esa has inhabilitado a Monty para que te proporcione información)

— La solución de porcentaje de personas premiado en la segunda vuelta, como no podía ser otra, es un 50%—y no el porcentaje que parece indicar la solución de Savant. Este se aplica al conjunto del problema, no a la elección de un jugador concreto en la segunda vuelta, aunque se sugiera lo contrario. En la segunda vuelta hay dos puertas, una elección y un solo premio, o sea, 50%. Aquí es donde entran en juego lo que llamo las falacias de Monty Hall / Savant, al mezclar dos perspectivas sobre la cuestión: la perspectiva estadística de lo que sucede globalmente a una población de jugadores, con la perspectiva de lo que sucede a cada jugador en la segunda vuelta.

(Falso me parece esto al releerlo, pues las dos puertas no tienen probabilidades iguales de ocultar el premio: no existe un 50% más que en apariencia. Sólo hay un 50% si se suprime una regla implícita del juego: que para la segunda vuelta NO VALE cambiar al coche de puerta. Esto parece presupuesto por todo el mundo, pero conviene especificarlo, porque no se le ha explicitado al concursante, ni éste notaría ninguna diferencia si se introdujese la regla del cambiazo: que mientras Monty abre una de las puertas rechazadas, el premio se cambia o no se cambia a la otra con un azar del 50%. La probabilidad, sin embargo, se alteraría con esta regla, sin que el concursante se diese cuenta).

— La solución ofrecida por Savant es por tanto simplista y poco comunicativa, y (quizá deliberadamente) confunde al personal haciéndole creer algo que no está en modo alguno implicado en esa solución. No se puede ofrecer una caracterización matemática idéntica para la media de la población jugadora y para un jugador en concreto en la segunda vuelta, y en ello radica la falacia. Ninguno de los comentaristas, creo, llama la atención sobre este aspecto de la cuestión.

(En efecto, la media de la población jugadora acertará un 50%... mientras cambie de puerta un número adecuado de veces. Exactamente el número de veces que, al azar, recaería su elección en una puerta distinta, en una elección al azar sobre tres y dos puertas sucesivamente. Si se atiene a un plan que reduzca la proporción de azar, como por ejemplo no cambiar nunca de puerta, acertará sólo un tercio de las veces. Y esto es lo que implicaba la solución de vos Savant, que tenía razón aunque expresaba su solución de modo quizá deliberadamente paradójico).

— Y en lo que no cae ninguno de los explicadores: de lo que sí hay mayor probabilidad es de que la mayoría de las personas cambiarán de elección. Al haber una mayoría que cambia, y tener iguales posibilidades de acertar se cambie o no (según hemos dicho, un 50%)... pues evidentemente "las personas que cambian", que son la mayoría, aciertan más. O, mejor dicho, aciertan más personas que han cambiado su elección. Pero sólo porque hay más personas que cambian su elección, no porque el hecho de cambiar les haga acertar más.

(Corrección corrección... como no hay iguales posibilidades de acertar en la segunda tirada, pues el 50% era falso a menos que se introduzca la regla del cambiazo, habrá más personas que acierten precisamente porque habrá más personas que cambien. Lo que sí oculta de manera un tanto desorientadora la solución de vos Savant es que hay mayor número de personas que cambian: nos lleva a creer, erróneamente, que la mitad de la gente cambia y la mitad no, y que los relativamente "pocos" que cambian tienen más posibilidades de acertar).

— Muchos pierden la perspectiva al interpretar este juego por no tener en cuenta su desarrollo temporal. Las fórmulas matemáticas que dan una caracterización atemporal de sus probabilidades también llevan a engaño, pues no describen la manera en que la gente interpreta el juego: teniendo en cuenta cuestiones no matematizadas, como son la temporalidad, la información superior del narrador del juego, y la retrospección.

— Pocos comentaristas son tan refinados, pero alguno sí que llama la atención sobre la posibilidad de que la retroalimentación reflexiva, una teoría sobre el juego altere el comportamiento de las personas y les lleve a acertar más. Es decir, si hay muchas personas que conocen la pseudo-solución de van Savant, pues esos cambiarán de puerta para así "mejorar" sus posibilidades de acertar. Sin embargo, esto sólo nos conduce (contrariamente a lo que piensan estos refinados) a que una proporción estadísticamente anómala de personas cambiarían su elección, en números superiores a lo que nos daría una probabilidad estadística al azar. Pero resulta indiferente para el porcentaje de posibilidad de aciertos, que se mantiene en un 50% tanto para los que cambian en la segunda vuelta como para los que no cambian.

(Matización: si una proporción estadísticamente anómala de personas cambian su elección con respecto a lo que sería una elección al azar —es decir, con respecto a un mayor número de veces de cambio al elegir la segunda vez— entonces es cuando se distorsiona el número de aciertos. Si hay muchos con el plan de no cambiar, bajará el número de aciertos, tendiendo a un tercio en esa población. A la larga larga, sin embargo, las grandes cifras dan más número de gente que cambia de puerta y se tiende al 50% de aciertos. Esto sucede tanto con plan como sin plan, pues puede haber planes erróneamente enfocados tanto en el sentido de cambiar sistemáticamente como en el de no cambiar nunca. Lo que nunca tendrá casi nadie es el ideal 50% de aciertos, siga un plan o no—y los planes erróneos también pueden llevar engañosamente a rachas de aciertos).

— Por supuesto, los que presuponen otras variables para el juego (que si Monty tiene opción o no de darte a elegir una puerta, que si puede abrir una puerta que sí tenga premio, etc., están hablando de otro juego. En este, Monty no tiene libertad de acción, y eso es lo que mantiene las probabilidades en lo que son. 

— Algunos comentaristas dan una explicación para justificar a vos Savant estableciendo una analogía con un juego similar pero en el que hay un millón de puertas, se elige una, y se abren a continuación 999.998. Hay que cambiar a la que queda sin abrir, dicen—y tienen razón. Pero comenten la falacia (la estadística engaña) de pensar que estamos hablando de un juego comparable. En este juego del millón la elección de Monty señalando a una puerta (la premiada probablemente) por el procedimiento de abrir 999.998 puertas es muy significativa: hay una fuerte señal que indica que debemos cambiar de puerta, pues nuestra elección inicial, menos informada que la de Monty, es de una entre un millón de posibilidades de acertar: la suya es de prácticamente un millón contra una de posibilidades de acertar, o sea, todo lo contrario. En el juego de las tres puertas, y luego dos, sin embargo, la señal que nos envía Monty no es significativa, al haberse equilibrado las probabilidades a un 50%. Con cuatro puertas (abriendo dos), ya es ventajoso cambiar. Con tres (abriendo una), no.

(Relectura: Con tres, abriendo una, también... porque ahora veo que las probabilidades no estaban equilibradas al 50% a pesar de haber dos puertas. Con lo cual sí estaríamos ante el mismo juego, o más bien ante un juego parecido pero más taimado, al estar disimulado por una apariencia falsa de 50% de azar).

—Esto es sólo un ejemplo de las muchas falacias que cometen quienes se embarcan en este juego. Tampoco es de descartar que muchos de los que aparentemente dan con la solución correcta (o sea, la mía) lo hagan por las razones equivocadas, sin pasar por los razonamientos aquí expuestos ni enterarse de la misa la mitad. La lectura de los comentarios al post de Un barco más grande es toda una lección de cómo la gente puede estar acatando la autoridad, y cometiendo una falacia lógica, en el mismo momento en que creen estar desenmascarando las falacias de otros, y resistiendo el argumento de autoridad, y felicitándose por ello. Irónico, e ilustrativo.

(Me parece que he ofrecido sin querer otra ilustración... De todos modos tiene el juego una cuestión interesante en lo que atañe a la reflexividad sobre la acción del conocimiento estadístico. Quienes conocen que trae ventaja cambiar, cambian, y eso mismo, que les ayudaría la mayoría de las veces, les perjudica si se convierte en un método fijo que corrija el azar... En cambio, quienes no tienen teoría al respecto cambian la mayoría de las veces, un número que resulta ser el estadísticamente idóneo para acertar. Quizá haya aquí un profundo mensaje sobre el valor de las teorías y del conocimiento reflexivo, para quien lo sepa extraer).

Aunque tal vez sea todo una broma... in fake we trust.

Exactamente en el centro del mundo

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